Виды пирамид: Пирамида. Виды пирамид | Подготовка к ЕГЭ по математике

Пирамида. Виды пирамид | Подготовка к ЕГЭ по математике

Пирамида – многогранник,  основание которого — многоугольник , а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д.

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Некоторые свойства пирамиды 

 

1) Если все боковые ребра равны, то 

– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

 

2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

Верно и обратное.

Виды пирамид

 

Пирамида называется

правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани — равные  равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно  вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Видео

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда  это ребро и есть высота пирамиды.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

 

Смотрите также таблицу «Объемы пирамиды и призмы. Площадь поверхности пирамиды и призмы».

Элементы пирамиды. Виды пирамид. Геометрия, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Количество граней пирамиды Сложность: лёгкое	1
2.	Площадь поверхности тетраэдра Сложность: лёгкое	2
3.	Вопросы о проекции вершины пирамиды, у которой боковые рёбра равны Сложность: среднее	1
4.	Вопросы о проекции вершины пирамиды, у которой двугранные углы при основании равны Сложность: среднее	1
5.	Вопросы об основании высоты пирамиды Сложность: среднее	1
6.	Вопросы о пирамиде с равными двугранными углами Сложность: среднее	1
7.	Сечение, параллельное основанию пирамиды Сложность: среднее	3
8.	Площадь сечения, параллельного основанию пирамиды Сложность: среднее	3
9.	Сечение, параллельное основанию пирамиды Сложность: среднее	2
10.	Площадь основания пирамиды Сложность: среднее	3
11.	Тангенс двугранного угла пирамиды Сложность: среднее	3
12.	Высота боковой грани пирамиды Сложность: среднее	2
13.	Высота боковой грани пирамиды Сложность: среднее	3
14.	Сторона основания правильной пирамиды Сложность: среднее	3
15.	Высота правильной треугольной пирамиды Сложность: среднее	3
16.	Двугранный угол правильной пирамиды Сложность: среднее	3
17.	Высота и площадь боковой поверхности пирамиды Сложность: среднее	3
18.	Площадь боковой поверхности пирамиды Сложность: среднее	4
19.	Поверхность правильной усечённой четырёхугольной пирамиды Сложность: среднее	4

виды пирамид, формулы объема и площади поверхности, апофема, высота — Колпаков Александр Николаевич

Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.

Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами. Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.

Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Комментарий репетитора:
Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства следует совпадение центра P многоугольника с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.

Что такое апофема?
Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.

Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников:
1) Содержащий апофему SK и высоту SP
2) Содержащий боковое ребро SA и его проекцию PA

Чтобы упростить ссылки на эти треугольники репетитору по математике удобнее называть первый из них апофемным, а второй реберным. К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.

Формула объема пирамиды:
1) , где – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды
2) , где – радиус вписанного шара, а – площадь полной поверхности пирамиды.
3) , где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.

Свойство основания высоты пирамиды:

Точка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням

Комментарий репетитора по математике: обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.

Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:
1) Все боковые ребра равны
2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию
3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте

Комментарий репетитора. Аналогично предыдущему пункту текст можно упростить и вместо этих условий произнести : «если имеется любая равная информация о боковых ребрах». При этом все апофемные треугольники будут равны все проекции боковых ребер будет равны P будет равноудалена от всех вершин основания и поэтому окажется центром описанной окружности.

Площадь полной поверхности пирамиды:
Полощадью поверности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней .
Площадь боковой поверхностии — сумма площадей всех боковых граней .
Если все апофемы равны (например в правильной пирамиде), то площадь ее боковой поверхности вычисляется по формуле , где p — полупериметр основания, а SK-апофема.

Правильная треугольная пирамида однозначно определяется двумя параметрами: один плоский, а другой пространственный: к плоскому я отношу любой элемент правильного треугольника (кроме угла), а к пространственному любой связующий параметр между основанием и точкой S: апофема, высота, углы наклона ребер, граней, объем, площадь поверхности и др. При наличие в условии задачи этих двух начальных данных репетитор с учеником может найти у такой пирамиды все что угодно.

Пирамида — обязательный пункт подготовки к ЕГЭ по математике. Програмный минимум по стереометрии включает в себя все вышеуказанные сведения, кроме третьей формулы вычисления объема пирамиды.

Колпаков Александр,
репетитор по математике в Москве. Строгино

Пирамида. Формулы и свойства

Определение.

Пирамида — это многогранная объемная фигура, ограниченная плоским многоугольником (основой) и треугольниками, имеющих общую вершину, не лежащую в плоскости основания.

Рис.1

Определение. Боковая грань — это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).

Определение. Боковые ребра — это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.

Определение. Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.

Определение. Апофема — это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.

Определение. Диагональное сечение — это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.

Определение. Правильная пирамида — это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.

Объём и площадь поверхности пирамиды

Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:

Определение. Боковая поверхность пирамиды — это совокупная площадь всех боковых граней пирамиды.

Определение. Полная поверхность пирамиды — это совокупность площадей боковой поверхности и площади основания пирамиды.

Формула. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания и апофему:

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).

Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.

Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.

Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.

2. Все боковые ребра равны.

3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.

4. Апофемы всех боковых граней равны.

5. Площади всех боковых граней равны.

6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.

7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.

8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.

9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n, где n — это количество углов в основании пирамиды.

Связь пирамиды со сферой

Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.

Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.

В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.

Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.

Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.

Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Определение. Усеченная пирамида (пирамидальная призма) — это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции. Определение. Треугольная пирамида (четырехгранник) — это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.

В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.

Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол.

Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).

Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).

Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.

Определение. Наклонная пирамида — это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием. Определение. Прямоугольная пирамида — это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.

Определение. Остроугольная пирамида — это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.

Определение. Тупоугольная пирамида — это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.

Определение. Правильный тетраэдр — четырехгранник у которого все четыре грани — равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.

Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.

Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание — правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.

Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.

Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.

Определение. Бипирамида — многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.

Основные виды финансовых пирамид / Новости, анонсы, брифинг / Мангистауская область / Агентство Республики Казахстан по финансовому мониторингу

     Чтобы вовремя распознать финансовую пирамиду, и не инвестировать свои деньги в «облачные технологии», следует иметь представление о том, какие именно мошеннические «инвестиционные проекты» бывают.

     На сегодняшний день существует 4 основных вида финансовых пирамид:

     1. Многоуровневая пирамида. Такая финансовая пирамида вменяет в обязанность каждому участнику сделать выгодный вклад при вступлении в организацию, распределяемый между пригласившим новичка и другими более поздними участниками. Далее каждый прибывший обязательно должен пригласить n-ое число участников, вклады которых пойдут новичку и пригласившему его ранее. Причиной краха, таким образом, организованной пирамиды является нехватка новых участников.

     Подобная пирамида может продержаться до седьмого, максимум до десятого уровня. Все, неспособные найти новых вкладчиков, участники несут огромные убытки (в каждом случае индивидуальные). Многоуровневая инвестиционная пирамида является прибыльной только для организатора и тех участников, которые вложили свои средства первыми, для остальных же вкладчиков это заведомо бесперспективное дело.

     По этой схеме работают, например, различные кредитные кооперативы или общества, предлагающие большие проценты по инвестиционным вкладам. Как правило, выплата хороших процентов по вкладам обеспечивается только притоком новых вкладчиков. Как только такой поток новых инвесторов иссякнет, пирамида рушится, и большая часть вкладчиков остается без денег.

     В интернет — среде такие типы пирамид получили вид различных проектов, которые имеют название хайпы (HYPE), где таким же образом предлагается вложить свои деньги в «очень прибыльный проект».

     2. Схема Понци в финансовых пирамидах. Изобретатель этой пирамиды – Чарльз Понци. Именно он организовал первую финансовую пирамиду на территории Соединенных Штатов Америки. Для получения дохода первоначальным вкладчикам нет нужды привлекать новичков. Первопроходцы получают доход за счёт собственных средств организатора этой схемы, привлечение новых вкладчиков основывается на распространении информации об ультра современной супердоходной инвестиционной разработке организатора, которая подкрепляется словами вкладчиков, уже получивших прибыль.

     Теперь пирамида становиться рентабельной, вкладчики обогащаются за счёт привлечённых от новичков средств. Значит, каждый инвестор этой пирамиды вступил в неё для того, чтобы получить прибыль, а так как её организатор не занимается другой деятельностью, кроме привлечения всё новых вкладчиков, то упадок этой схемы прямо пропорционален числу вновь привлечённых инвесторов.

     Обычно после этого основатель пирамиды скрывается вместе со всеми, вложенными участниками, средствами. Такая финансовая пирамида приносит огромный доход только организатору данной схемы.

     3. Маскирующаяся пирамида. Такие пирамиды маскируются под многоуровневый маркетинг, то есть это пирамиды, продающие какой-либо товар или услугу. Участники вступают в данную пирамиду и находят человека приобретающего данный товар или услугу. После чего участник получает комиссионное вознаграждение. Товар – это, своего рода, прикрытие организации для снятия с себя подозрения в деятельности обычной финансовой пирамиды.

     4. Матричная пирамида. Выше перечисленные пирамиды могут быть ещё и матричного типа. Это значит, что каждому новому участнику необходимо заполнить ряды участников под собой, и только лишь после заполнения рядов второго и третьего порядка он сможет получить прибыль.

     Здесь особо стоит отметить, что вышеперечисленное стало все активнее реализовываться в социальных сетях интернета, где и клиентуры больше и возможность скрыть следы немалые. Сейчас, чтобы привлечь инвестора – жертву, используются различные технологии, в том числе с помощью навязчивой рекламы, а именно: послание приглашений по почте, бесконечно всплывающие окна на сайтах с заманчивыми предложениями, рассылки спамов и т.д.

     К тому же, через всемирную сеть организовать инвестиционную пирамиду можно анонимно. А это значит, что отслеживание денежных потоков, привлечение к юридической ответственности и возврат денег становятся практически невозможными. В качестве примера можно привести целый ряд интернет -пирамид: «Бинар» (My Binar), «программа Super Progik», проекты, замаскированные под псевдо — доверительное управление брокеров MMCIS (Index Top 20), «программа NewPRO», проекты Мавроди МММ- 2011и МММ-2012 , многие торговые площадки Форекс и т.д.

     Для того, чтобы вовремя распознать очередную мошенническую схему или финансовую пирамиду, следует знать о некоторых признаках таких неблаговидных способах обмана честных инвесторов.

     Среди этих признаков можно отметить наиболее главные:

     · Анонимность. Большая часть мошеннических проектов в интернете не имеют ни юридического лица, ни контактных данных. Даже если есть какие — то адреса и телефоны, то, скорее всего, это тоже обман, так как ничего не стоит сделать фиктивную регистрацию, опубликовать номера телефонов, и даже имена и фамилии персонала.

     · Высокая доходность. Главная задача мошенников — это привлечь как можно больше людей в свою пирамиду. Самый главный мотив — это жадность и желание больших денег. Поэтому устроители пирамид не скупятся на обещание больших доходностей, и 20 и 30% в месяц для них не предел. Если же сравнить с обычными инвестиционными фондами, то там даже нет и намека на обещание дохода в будущем.

     · Отсутствие лицензий и прочих разрешительных документов. Инвесторам надо всегда помнить, что в любой нормальной стране деятельность, связанная с привлечением финансовых средств клиентов, подлежит обязательной сертификации или лицензированию. Если организация (или частное лицо) собирает деньги под различные проекты у инвесторов, но не имеет на это лицензии (или использует подложные документы), то это явный признак того, что инвестор столкнулся с мошенниками.

     · Отличительной особенностью работы финансовых пирамид — это довольно сильное психологическое и эмоциональное давление на сознание клиента. Это и навязчивая реклама, и стимулирование привлечения новых клиентов, и прочие психологические приемы, главной целью которых, является не только удержание клиента, но и чтобы в пирамиду вовлекались новые участники. Например, формирование команд (через социальные сети), или создание системы накопительных бонусов и т.п.

Урок по геометрии «Пирамида. Виды пирамид. Боковая поверхность пирамиды» (10 класс)

Тема: Пирамида. Виды пирамид. Боковая поверхность пирамид. Дата____________

Тип урока: урок изучения новой темы.

Используемые методы: фронтальный опрос, работа в тетрадях, индивидуальная работа.

Используемые методы оценивания: словесная оценка (устная обратная связь), рейтинговая шкала.

Оборудование: доска, учебники, тетради, опорный конспект.

Цели урока:

Образовательная: изучить элементы пирамиды, виды пирамид; научиться находить площадь боковой поверхности.

Воспитательная: воспитание внимательности, культуры математической речи, умения работать в коллективе.

Развивающая: способствовать развитию внимания, памяти, математического мышления.

Индикаторы:

В результате повторения материала учащиеся смогут:

Учащиеся умеют:

План урока.

1. Орг. момент.

2. Озвучить цели урока.

3. Проверка Д/з.

4. Новая тема (опорный конспект).

5. Решение задачи.

6. Классная работа.

7. Пракическая работа.

8. Домашнее задание.

9. Итог урока.

Ход урока.

Проверка Д/з.

Проверить наличие Д/з.

Собрать листочки на проверку.

Новая тема.

Учащимся раздаются листы «Опорный конспект», который они прорабатывают на основании учебника Атанасяна Л.С. Геометрия 10-11, §2, п.32-34, заполняя пропуски и пробелы. После окончания опорный конспект сдаётся учителю на проверку, а после крепится в тетрадях учащихся.

Глоссарий по теме

Пирамида – многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников

Основание пирамиды – грань пирамиды, являющаяся n-угольником

Вершина пирамиды – общая точка всех треугольников, лежащих в боковых гранях.

Боковая грань – грань пирамиды, являющаяся треугольником

Боковые ребра – общие отрезки боковых граней

Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды

Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину и центр основания пирамиды, является высотой

Усеченная пирамида – многогранник, образованный двумя n-угольниками, расположенными в параллельных плоскостях (нижнее и верхнее основание) и n-четырехугольников (боковые грани).

Площадь полной поверхности пирамиды – сумма площадей всех граней пирамиды

Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей боковых граней пирамиды

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение пирамиды

Рассмотрим многоугольник A₁A₂…A_n и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника (рис.1). Соединив точку Р с вершинами многоугольника, получим n треугольников: PA₁A₂, PA₂A₃,…, PA_nA₁.

Многогранник, составленный из n-угольника A₁A₂…A_n и n треугольников, называется пирамидой. Многоугольник A₁A₂…A_n называется основанием, а треугольники PA₁A₂, PA₂A₃,…, PA_nA₁ – боковые грани пирамиды, отрезки PA₁, PA₂,…, PA_n – боковые ребра пирамиды, точка Р – вершина пирамиды. Пирамиду с основанием A₁A₂…A_n и вершиной Р называют n-угольной пирамидой и обозначают PA₁A₂…A_n.

Рис.1 — пирамида Рис.2 – высота вне пирамиды Рис.3 – Высота пирамиды — боковое

ребро

Высота пирамиды

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 1 PH является высотой. Обратите внимание, что высота может лежать и вне пирамиды (рис. 2) или быть одним из боковых ребер (рис. 3).

Правильная пирамида

Будем называть пирамиду правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Напомним, что центром правильного многоугольника называется центр вписанной в него (или описанной около него) окружности (рис.4).

Рис.4 – Правильная пирамида Рис.5 – Усеченная пирамида Рис.6 – Высота усеченной пирамиды

Правильная пирамида (рис.4) обладает следующими свойствами:

• Все боковые ребра правильной пирамиды равны.

• Боковые ребра правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На рис.4 PE – одна из апофем.

Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу как высоты в равных треугольниках.

Усеченная пирамида

Возьмем произвольную пирамиду PA₁A₂…A_n и проведем секущую плоскость β, параллельную плоскости основания пирамиды α и пересекающую боковые ребра в точках В₁,В₂,…В_n (рис. 5). Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются n-угольники A₁A₂…A_n и В₁В₂…В_n (нижнее и верхнее основания соответственно), расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂, … A₁A_nB_nB₁ (боковые грани), называется усеченной пирамидой.

Отрезки A₁B₁, A₂B₂, … A_nB_n называют боковыми ребрами усеченной пирамиды.

Усеченную пирамиду с основаниями A₁A₂…A_n и В₁В₂…В_n обозначают следующим образом: A₁A₂…A_nВ₁В₂…В_n.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания называется высотой усеченной пирамиды. На рисунке 6 отрезки HH₁ и В1O – высоты усеченной пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды

Площадью полной поверхности пирамиды называются сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.

Для пирамиды, верно равенство S_полн= S_бок+S_осн.

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Оценивание работы с Опорным конспектом:

Все пробелы, пропуски и формулы заполнены верно – 50%.

Есть неточности, недочёты/ не все пропуски заполнены/не указаны формулы/неверно указаны – 30%

Большая часть пропусков не заполнена/не указаны формулы/ определения не в полном объеме – 10-20%

Примеры и разбор решения задачи.

Задача 1. (совместно)

В пятиугольной пирамиде все боковые грани равны между собой. Площадь основания равна 42, а площадь боковой грани на 15 меньше. Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?

Решение

Поскольку в пирамиде все боковые грани равны, то и площади их будут равны. Знаем, что площадь боковой грани на 15 меньше площади основания, значит она равна 27. В пятиугольной пирамиде боковых граней 5. Таким образом площадь полной поверхности равна 27 · 5 + 42 = 177.

Ответ: 177 см².

Классная работа.

№241 (самостоятельно)

Дано: MADCB — пирамида.

АВ = 5 (м),

AD = 4 (м),

DB = 3 (м),

МО = 2 (м).

Найти: Sпир..

Решение:

1. Пусть АВ = 5 м, AD = 4 м, BD = 3 м. Заметам, что ΔABD — прямоугольный; ∠ADB = 90°; AD ⊥ DO следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, AD ⊥ MD, то есть MD является высотой грани MAD.

2. Из ΔMDO получаем:

3. Из ΔADB имеем DK ⊥ AB, 

Из ΔMOF получаем: OF || DK,

4.   

Ответ: м²

Практическая работа.

Задача 2. (самостоятельно) – 10%

В правильной пирамиде высота боковой грани равна 10, а в основании лежит квадрат со стороной 4. Чему равна площадь боковой поверхности?

Решение

Боковая грань пирамиды – это треугольник. Все боковые грани этой пирамиды равны между собой, так как пирамида правильная. Вычислим площадь треугольника:

½ · 4 · 10 = 20.

В основании пирамиды лежит квадрат, значит боковых граней будет 4. Таким образом, площадь боковой поверхности равна 4 · 20 = 80.

Ответ: 80 см².

Задача 3. (самостоятельно) – 10%

Пусть дана пирамида с основанием ABCDE и вершиной F. AB=BC=CD=DE=EA=3 см. Апофема a = 5 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение:

Найдем периметр. Так как все грани основания равны, то периметр пятиугольника будет равен:

Теперь можно найти боковую площадь пирамиды:

Ответ: 37,5 см².

Задача 4. (самостоятельно) – 15%

Дана пирамида с апофемой a = 4 см и гранью основания b = 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение: Для начала находим площадь одной из боковых граней. В данном случае она будет:

Подставляем значения в формулу:

 

Так как в правильной пирамиде все боковые стороны одинаковы, то площадь боковой поверхности пирамиды будет равна сумме площадей трех граней. Соответственно:

Ответ: 12 см².

Задача 5. (самостоятельно) – 15%

Дана правильная четырехугольная усеченная пирамида. Длины основания равны b = 5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Найдите площадь боковой поверхности фигуры.
Решение:

Для начала найдем периметр оснований. В большем основании он будет равен:

В меньшем основании: 

Посчитаем площадь:

Ответ: 64 см².

Домашнее задание.

Читать §2.32-34, выполнять №239, 240

Итог урока:

1. Оценить работу класса и каждого ученика в отдельности (рейтинговая шкала):

0% — 28% — недопустимо низкий уровень

29% — 48% — отметка «2»

49% — 68% — отметка «3»

69% — 88% — отметка «4»

89% — 100% — отметка «5»

2. Выставить оценки в журнал и в дневники.

3. Проверить наличие записи Д/з в дневниках.

Пирамида. Виды пирамид

Нам хорошо известны великие египетские пирамиды, каждый может представить себе, как они выглядят. Это представление и поможет нам разобраться в особенностях такой геометрической фигуры, как пирамида.

Пирамида – это многогранник, состоящий из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания. Отрезки, которые соединяют вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми рёбрами. На рис. 1 изображена пирамида SABCD. Четырёхугольник ABCD – основание пирамиды, точка S – вершина пирамиды, отрезки SA, SB, SC и SD – рёбра пирамиды.

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. На рис. 1 SO – высота пирамиды.

Пирамида называется n-угольной, если её основанием является n-угольник. На рисунке 1 изображена четырёхугольная пирамида. Треугольная пирамида называется тетраэдром.

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Боковые рёбра у правильной пирамиды равны, а, следовательно, боковые грани являются равнобедренными треугольниками. В правильной пирамиде высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, называется апофемой.

Пирамида обладает рядом свойств.

Все диагонали пирамиды принадлежат её граням.

Если все боковые ребра равны, то:

• около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, и, наоборот, если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

• в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• высоты боковых граней равны;
• площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Рассмотрим формулы для нахождения объёма, площади поверхности пирамиды.

Объём пирамиды можно вычислить по следующей формуле:

где S – площадь основания, а h – высота.

Чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, необходимо воспользоваться формулой:

S p = S b + S o ,

где S p – площадь полной поверхности, S b – площадь боковой поверхности, S o – площадь основания.

Усечённой пирамида – это многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию. Грани усечённой пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями усечённой пирамиды, остальные грани называются боковыми гранями. Основаниями усечённой пирамиды являются подобные многоугольники, боковыми гранями – трапеции. Усечённая пирамида, которая получается из правильной пирамиды, называется правильной усечённой пирамидой. Боковые грани правильной усечённой трапеции представляют собой равные равнобокие трапеции, их высоты называются апофемами.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Видеоурок 2: Задача на пирамиду. Объем пирамиды

Видеоурок 3: Задача на пирамиду. Правильная пирамида

Лекция: Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида

Пирамида, её свойства

Пирамида – это объемное тело, которое имеет в основании многоугольник, а все её грани состоят из треугольников.

Частным случаем пирамиды является конус, в основании которого лежит окружность.

Рассмотрим основные элементы пирамиды:

Апофема – это отрезок, который соединяет вершину пирамиды с серединой нижнего ребра боковой грани. Иными словами, это высота грани пирамиды.

На рисунке можно увидеть треугольники ADS, ABS, BCS, CDS. Если внимательно посмотреть на названия, можно увидеть, что каждый треугольник имеет в своем названии одну общую букву – S. То есть это значит, что все боковые грани (треугольники) сходятся в одной точке, которая называется вершиной пирамиды.

Отрезок ОS, который соединяет вершину с точкой пересечения диагоналей основания (в случае с треугольников – в точке пересечения высот), называется высотой пирамиды .

Диагональным сечением называют плоскость, которая проходит через вершину пирамиды, а также одну из диагоналей основания.

Так как боковая поверхность пирамиды состоит из треугольников, то для нахождения общей площади боковой поверхности необходимо найти площади каждой грани и сложить их. Количество и форма граней зависит от формы и размеров сторон многоугольника, который лежит в основании.

Единственная плоскость в пирамиде, которой не принадлежит её вершина, называется основанием пирамиды.

На рисунке мы видим, что в основании лежит параллелограмм, однако, может быть любой произвольный многоугольник.

Свойства:

Рассмотрим первый случай пирамиды, при котором она имеет ребра одинаковой длины:

• Вокруг основания такой пирамиды можно описать окружность. Если спроецировать вершину такой пирамиды, то её проекция будет находится в центре окружности.
• Углы при основании пирамиды у каждой грани одинаковы.
• При этом достаточным условием к тому, что вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а так же считать, что все ребра разной длины, можно считать одинаковые углы между основанием и каждым ребром граней.

Если Вам попалась пирамида, у которой углы между боковыми гранями и основанием равны, то справедливы следующие свойства:

• Вы сможете описать окружность вокруг основания пирамиды, вершина которой проецируется точно в центр.
• Если провести у каждой боковой грани высоты к основанию, то они будут равной длины.
• Чтобы найти площадь боковой поверхности такой пирамиды, достаточно найти периметр основания и умножить его на половину длины высоты.
• S бп = 0,5P oc H.
• Виды пирамиды.
• В зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании пирамиды, они могут быть треугольными, четырехугольными и др. Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник (с равными сторонами), то такая пирамида будет называться правильной.

Правильная треугольная пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого многоугольник (основание ), а все остальные грани – треугольники с общей вершиной (боковые грани ) (рис. 15). Пирамида называется правильной , если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания (рис. 16). Треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется тетраэдром .

Боковым ребром пирамиды называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию Высотой пирамиды называется расстояние от ее вершины до плоскости основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой, все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины, называется апофемой . Диагональным сечением называется сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех боковых граней и основания.

Теоремы

1. Если в пирамиде все боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

2. Если в пирамиде все боковые ребра имеют равные длины, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

3. Если в пирамиде все грани равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности вписанной в основание.

Для вычисления объема произвольной пирамиды верна формула:

где V – объем;

S осн – площадь основания;

H – высота пирамиды.

Для правильной пирамиды верны формулы:

где p – периметр основания;

h а – апофема;

H – высота;

S полн

S бок

S осн – площадь основания;

V – объем правильной пирамиды.

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды (рис. 17). Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды.

Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники. Боковые грани – трапеции. Высотой усеченной пирамиды называется расстояние между ее основаниями. Диагональю усеченной пирамиды называется отрезок, соединяющий ее вершины, не лежащие в одной грани. Диагональным сечением называется сечение усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Для усеченной пирамиды справедливы формулы:

(4)

где S 1 , S 2 – площади верхнего и нижнего оснований;

S полн – площадь полной поверхности;

S бок – площадь боковой поверхности;

H – высота;

V – объем усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды верна формула:

где p 1 , p 2 – периметры оснований;

h а – апофема правильной усеченной пирамиды.

Пример 1. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60º. Найти тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 18).

Пирамида правильная, значит в основании равносторонний треугольник и все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Двугранный угол при основании – это угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания. Линейным углом будет угол a между двумя перпендикулярами: и т.е. Вершина пирамиды проектируется в центре треугольника (центр описанной окружности и вписанной окружности в треугольник АВС ). Угол наклона бокового ребра (например SB ) – это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания. Для ребра SB этим углом будет угол SBD . Чтобы найти тангенс необходимо знать катеты SO и OB . Пусть длина отрезка BD равна 3а . Точкой О отрезок BD делится на части: и Из находим SO : Из находим:

Ответ:

Пример 2. Найти объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если диагонали ее оснований равны см и см, а высота 4 см.

Решение. Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой (4). Чтобы найти площади оснований необходимо найти стороны квадратов-оснований, зная их диагонали. Стороны оснований равны соответственно 2 см и 8 см. Значит площади оснований и Подставив все данные в формулу, вычислим объем усеченной пирамиды:

Ответ: 112 см 3 .

Пример 3. Найти площадь боковой грани правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 10 см и 4 см, а высота пирамиды 2 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 19).

Боковая грань данной пирамиды является равнобокая трапеция. Для вычисления площади трапеции необходимо знать основания и высоту. Основания даны по условию, остается неизвестной только высота. Ее найдем из где А 1 Е перпендикуляр из точки А 1 на плоскость нижнего основания, A 1 D – перпендикуляр из А 1 на АС . А 1 Е = 2 см, так как это высота пирамиды. Для нахождения DE сделаем дополнительно рисунок, на котором изобразим вид сверху (рис. 20). Точка О – проекция центров верхнего и нижнего оснований. так как (см. рис. 20) и С другой стороны ОК – радиус вписанной в окружности и ОМ – радиус вписанной в окружности:

MK = DE .

По теореме Пифагора из

Площадь боковой грани:

Ответ:

Пример 4. В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция, основания которой а и b (a > b ). Каждая боковая грань образует с плоскостью основания пирамиды угол равный j . Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 21). Площадь полной поверхности пирамиды SABCD равна сумме площадей и площади трапеции ABCD .

Воспользуемся утверждением, что если все грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то вершина проектируется в центр вписанной в основание окружности. Точка О – проекция вершины S на основание пирамиды. Треугольник SOD является ортогональной проекцией треугольника CSD на плоскость основания. По теореме о площади ортогональной проекции плоской фигуры получим:

Аналогично и значит Таким образом задача свелась к нахождению площади трапеции АВСD . Изобразим трапецию ABCD отдельно (рис.22). Точка О – центр вписанной в трапецию окружности.

Так как в трапецию можно вписать окружность, то или Из по теореме Пифагора имеем

Понятие пирамиды

Определение 1

Геометрическая фигура, образованная многоугольником и точкой, не лежащей в плоскости, содержащей этот многоугольник, соединенной со всеми вершинами многоугольника называется пирамидой (рис. 1).

Многоугольник, из которого составлена пирамида, называется основанием пирамиды, получаемые при соединение с точкой треугольники — боковыми гранями пирамиды, стороны треугольников — сторонами пирамиды, а общая для всех треугольников точка— вершиной пирамиды.

Виды пирамид

В зависимости от количества углов в основании пирамиды ее можно назвать треугольной, четырехугольной и так далее (рис. 2).

Рисунок 2.

Еще один вид пирамид — правильная пирамида.

Введем и докажем свойство правильной пирамиды.

Теорема 1

Все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками, которые равны между собой.

Доказательство.

Рассмотрим правильную $n-$угольную пирамиду с вершиной $S$ высотой $h=SO$. Опишем вокруг основания окружность (рис. 4).

Рисунок 4.

Рассмотрим треугольник $SOA$. По теореме Пифагора, получим

Очевидно, что так будет определяться любое боковое ребро. Следовательно, все боковые ребра равны между собой, то есть все боковые грани — равнобедренные треугольники. Докажем, что они равны между собой. Так как основание — правильный многоугольник, то основания всех боковых граней равны между собой. Следовательно, все боковые грани равны по III признаку равенства треугольников.

Теорема доказана.

Введем теперь следующее определение, связанное с понятием правильной пирамиды.

Определение 3

Апофемой правильной пирамиды называется высота её боковой грани.

Очевидно, что по теореме один все апофемы равны между собой.

Теорема 2

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды определяется как произведение полупериметра основания на апофему.

Доказательство.

Обозначим сторону основания $n-$угольной пирамиды через $a$, а апофему через $d$. Следовательно, площадь боковой грани равна

Так как, по теореме 1, все боковые стороны равны, то

Теорема доказана.

Еще один вид пирамиды — усеченная пирамида.

Определение 4

Если через обычную пирамиду провести плоскость, параллельную её основанию, то фигура, образованная между этой плоскостью и плоскостью основания называется усеченной пирамидой (рис. 5).

Рисунок 5. Усеченная пирамида

Боковыми гранями усеченной пирамиды являются трапеции.

Теорема 3

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды определяется как произведение суммы полупериметров оснований на апофему.

Доказательство.

Обозначим стороны оснований $n-$угольной пирамиды через $a\ и\ b$ соответственно, а апофему через $d$. Следовательно, площадь боковой грани равна

Так как все боковые стороны равны, то

Теорема доказана.

Пример задачи

Пример 1

Найти площадь боковой поверхности усеченной треугольной пирамиды, если она получена из правильной пирамиды со стороной основания 4 и апофемой 5 путем отсечения плоскостью, проходящей через среднюю линию боковых граней.

Решение.

По теореме о средней линии получим, что верхнее основание усеченной пирамиды равно $4\cdot \frac{1}{2}=2$, а апофема равна $5\cdot \frac{1}{2}=2,5$.

Тогда, по теореме 3, получим

Пирамида

— определение, свойства, типы, формулы

В математике пирамида — это трехмерная фигура, основанная на многоугольнике и соединенных вместе треугольных гранях. Пирамида соединяет каждый край основания с общим концом или вершиной, придавая ему типичную форму. Давайте узнаем больше о пирамидах в этом разделе.

Определение пирамиды

Пирамида — это трехмерный многогранник с основанием многоугольника и тремя или более гранями треугольной формы, которые встречаются в точке над основанием.Треугольные стороны называются гранями, а точка над основанием называется вершиной. Пирамида создается путем соединения основания с вершиной. Иногда треугольные стороны также называют боковыми гранями, чтобы отличать их от основания. В пирамиде каждый край основания соединен с вершиной, образующей треугольную грань.

Свойства пирамиды

Вот список различных свойств пирамиды, которые помогают нам легко ее идентифицировать:

• Пирамида состоит из трех основных частей — вершины, грани и основания.
• Основание многоугольника чаще всего имеет форму квадрата.
• Грани пирамиды, кроме основания, называются боковыми гранями.
• Если основание — правильный многоугольник, треугольники равнобедренные и равнобедренные.
• Сегменты линии, образованные двумя пересекающимися гранями, называются ребрами, а точка или угол, в котором встречаются три или более ребра, — вершиной.
• Вершина — это вершина, противоположная основанию и придающая форму пирамиде.

Типы пирамид

Существуют разные типы пирамид в зависимости от формы их основания. Давайте посмотрим на разные типы пирамид:

Квадратная пирамида

Квадратная пирамида образуется, когда основание пирамиды имеет форму квадрата. Квадратная пирамида состоит из одного квадратного основания и трех треугольных граней. Другими словами, у него 8 ребер, 5 вершин и 4 грани. Посмотрите на квадратную пирамиду, показанную ниже, чтобы понять ее форму.

Треугольная пирамида

Если основание пирамиды имеет форму треугольника, она называется треугольной пирамидой. У треугольной пирамиды 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Такую пирамиду еще можно назвать тетраэдром. Посмотрите на треугольную пирамиду, показанную ниже, чтобы понять ее форму.

Пятиугольная пирамида

Пятиугольная пирамида — это пирамида, основание которой имеет форму пятиугольника, а остальные грани — треугольники.У этой пирамиды 6 граней, 6 вершин и 10 ребер. Обратите внимание на следующую пятиугольную пирамиду, чтобы лучше понять ее форму.

Правая пирамида против наклонной пирамиды

Расположение вершины или вершины пирамиды определяет, является ли пирамида правой пирамидой или наклонной пирамидой. Пирамида называется правой пирамидой, если ее вершина находится точно над серединой основания пирамиды. Принимая во внимание, что, когда расположение вершины не точно над серединой, а немного дальше, эта пирамида называется наклонной пирамидой.Другими словами, когда перпендикулярная линия от вершины пересекает центр основания, это правильная пирамида. Когда он не пересекает центр основания, это наклонная пирамида. Обратите внимание на следующие рисунки, чтобы увидеть разницу между наклонной пирамидой и правой пирамидой.

Обычная пирамида и неправильная пирамида

Если основание пирамиды — правильный многоугольник, она считается правильной пирамидой. Если основание представляет собой неправильный многоугольник, стороны которого не равны друг другу, то это неправильная пирамида.Обратите внимание на следующий рисунок, чтобы заметить разницу между правильной и неправильной пирамидой.

Объем пирамиды

Объем пирамиды — это пространство, заключенное между ее гранями. Каждая пирамида имеет разную формулу в зависимости от основания пирамиды. Объем пирамиды измеряется в кубических единицах, и формула, используемая для вычисления объема пирамиды, следующая: Объем пирамиды = 1/3 × площадь основания × высота

Площадь пирамиды

Площадь поверхности пирамиды различна для разных типов пирамид.Формула, используемая для определения площади поверхности пирамиды, выглядит следующим образом:

Когда все боковые грани одинаковы, формула следующая: Площадь поверхности = Площадь основания + (½ × Периметр основания × Высота наклона)

Если боковые грани разные, формула следующая: Площадь поверхности = Базовая площадь + Боковая площадь

Следует отметить, что когда боковые грани разные, как в случае неправильных пирамид, мы вычисляем общую боковую площадь, складывая площадь каждого треугольника.

Сеть пирамиды

Сеть пирамиды видна, когда различные типы пирамид сплющиваются и раскрываются. Например, сетка квадратной пирамиды состоит из основания в форме квадрата и четырех сторон или граней треугольника. Сетка треугольной пирамиды состоит из 5 граней: одного квадратного основания и 4 треугольных боковых граней. Обратите внимание на следующий рисунок, чтобы увидеть сеть пирамиды.

Связанные темы

Ниже приведены несколько интересных тем, связанных с пирамидами:

Часто задаваемые вопросы по Pyramid

Что такое пирамида?

Пирамида — это трехмерный многогранник с основанием многоугольника и тремя или более гранями треугольной формы, которые встречаются в точке над основанием.Треугольные стороны и основание называются гранями, а точка над основанием называется вершиной. Один из самых известных примеров из реальной жизни — пирамиды Египта.

Какие бывают типы пирамид?

Существуют различные типы пирамид, которые мы видим, в зависимости от формы их основания. Ниже перечислены различные типы пирамид:

• Квадратная пирамида — в которой основание пирамиды представляет собой квадрат.
• Треугольная пирамида — основание пирамиды представляет собой треугольник.
• Пятиугольная пирамида — основание пирамиды представляет собой пятиугольник.
• Правая пирамида — у которой вершина находится точно над серединой основания.
• Наклонная пирамида — вершина которой не находится точно над центром основания.
• Правильная пирамида — основание которой представляет собой правильный многоугольник.
• Неправильная пирамида — основание пирамиды не является правильным многоугольником.

По какой формуле найти объем правильной пирамиды?

У разных типов пирамид есть разные формулы для определения объема.Формула для определения объема правильной пирамиды: Объем пирамиды = 1/3 × площадь основания × высота

.

Какова формула определения площади поверхности правильной призмы?

Подобно объему, каждый тип пирамиды имеет свою формулу. Формула правильной пирамиды выглядит следующим образом:

Когда все боковые грани одинаковы, формула следующая: Площадь поверхности = Площадь основания + (½ × Периметр основания × Высота наклона)

Если боковые грани разные, формула следующая: Площадь поверхности = Базовая площадь + Боковая площадь

Что такое пирамида из тетраэдра?

Тетраэдрическая пирамида, также известная как треугольная пирамида, представляет собой особый вид пирамиды, у которой все грани, включая основание, представляют собой треугольник.Это единственный тип пирамиды, в котором любая сторона грани может быть основанием пирамиды, а любая из вершин может быть ее вершиной.

Как называется 8-сторонняя пирамида?

8-гранная пирамида называется восьмиугольной пирамидой, в которой основание — восьмиугольник, а остальные грани — треугольники. Грани или треугольные стороны пирамиды встречаются в точке прямо над основанием.

Пирамиды

Обзор

Пирамида — это многогранник (т.е.е. трехмерная геометрическая форма с плоскими гранями и прямыми краями). Пирамида отличается от других типов многогранников тем, что, хотя одна из ее граней (основание пирамиды) является многоугольником и может иметь три или более сторон, все остальные грани представляют собой треугольников . Как вы можете видеть на иллюстрации ниже, каждая сторона основания образует одну сторону треугольника, который соединяет основание пирамиды с ее вершиной , вершиной . Эти треугольные грани имеют одну общую вершину (вершину пирамиды), и их количество будет равно количеству сторон, образующих основание.Пирамида с основанием, имеющим n сторон, будет иметь n +1 граней (т.е. один базовый многоугольник и n треугольных сторон). Он также будет иметь 2 n ребер и n +1 вершин. Обратите внимание, что существует особый тип пирамиды, называемый тетраэдром , у которого основание также треугольник. Тетраэдры обладают некоторыми особыми свойствами, о которых мы поговорим в другом месте. На этой странице мы обсудим свойства пирамид в целом.

Пирамида имеет многоугольное основание и треугольные стороны.

Различные цивилизации по всему миру за последние три тысячи лет построили пирамидальные сооружения. Вероятно, самая известная и, безусловно, одна из крупнейших, — Великая пирамида в Гизе, на окраине Каира в Египте. Великая пирамида, также известная как Пирамида Хуфу или Пирамида Хеопса , является самой большой и, вероятно, самой старой из нескольких пирамид на территории Гизы.Считается, что он был построен около четырех с половиной тысяч лет назад как гробница фараона Хуфу . В течение нескольких тысяч лет это было крупнейшее рукотворное сооружение в мире и единственное из сохранившихся до сих пор оригинальных чудес древнего мира. Великая пирамида, как и многие другие египетские пирамиды, имеет квадратное основание и по форме похожа на иллюстрацию выше. Считается, что форма пирамиды (с большей частью веса, близкой к земле) была выбрана для того, чтобы позволить этим древним цивилизациям создавать очень большие устойчивые конструкции.

Пирамиды в Гизе, недалеко от Каира, Египет

Виды пирамиды

Тип пирамиды определяется несколькими факторами. Возможно, слово «тип» следует заменить словом «форма», поскольку существует потенциально бесконечное количество различных форм пирамид, многие из которых не попадают в определенную категорию.Габаритные размеры пирамиды, конечно, будут иметь значение. Помимо этого, наиболее важные различия будут заключаться в форме многоугольного основания (то есть в количестве сторон, которое у него есть, и является ли он правильным многоугольником), а также в ориентации вершины пирамиды по отношению к основание (то есть вершина, расположенная над геометрическим центром основания, или смещена на некоторое расстояние в определенном направлении). Самая известная форма пирамиды — это, вероятно, изображенная выше, у которой квадратное основание и вершина, расположенная прямо над геометрическим центром основания.Вот еще несколько часто встречающихся форматов:

Треугольная пирамида (тетраэдр) имеет треугольное основание.

Пятиугольная пирамида имеет пятиугольное основание.

Шестиугольная пирамида имеет шестиугольное основание.

Только пирамиды, у которых есть базовый многоугольник с тремя , четырьмя или пятью сторонами , могут быть полностью составлены из правильных многоугольников.Для этого необходимо, чтобы каждая грань пирамиды имела стороны одинаковой длины и внутренние углы одинаковой величины. Основание пирамиды должно быть равносторонним треугольником, квадратом или правильным пятиугольником. Остальные грани должны быть равносторонними равносторонними треугольниками с длиной стороны, равной длине одной стороны базового многоугольника. Сама пирамида может считаться правильной пирамидой , если основание пирамиды — правильный многоугольник, а стороны пирамиды — равнобедренные треугольники (равносторонние или равнобедренные).Если основание пирамиды , а не правильный многоугольник (т.е. длина сторон и величина внутреннего угла различаются), то сама пирамида также будет неправильной.

Положение вершины относительно основания — важный фактор.

Другой интересной особенностью, как упоминалось выше, является ориентация вершины пирамиды относительно основания.Если вершина находится непосредственно над геометрическим центром (или центроидом ) основания, тогда пирамида называется правой пирамидой . Обратите внимание, что для того, чтобы это было правдой, отрезок линии, соединяющий геометрический центр основания с вершиной, должен быть перпендикулярен плоскости, в которой лежит основание. Если вершина , а не лежит прямо над геометрическим центром основания, пирамида называется наклонной пирамидой . Наклонная пирамида по определению неправильная (независимо от того, является ли основной многоугольник правильным или нет), потому что стороны пирамиды не могут быть конгруэнтными.

Пирамида с неправильным многоугольником в основании сама по себе неправильная.

Объем и площадь пирамиды

Объем V пирамиды, независимо от формы ее основания или ориентации ее вершины, рассчитывается как одна треть ее площади основания, умноженная на ее высоту (то же самое, кстати, верно и для конуса).Мы можем формализовать эти отношения как:

В = ¹ / ₃ Bh

где B — площадь основания, а h — высота пирамиды (т.е. перпендикулярное расстояние от основания пирамиды до ее вершины). Определение площади поверхности пирамиды может быть немного сложнее, если пирамида неправильная, так как основание (обычно) будет неправильным многоугольником, а треугольные грани будут отличаться по форме.В таком случае площадь каждой грани пирамиды (включая основание) должна быть найдена отдельно, а значения суммированы, чтобы получить общую площадь поверхности. Если пирамида представляет собой обычную пирамиду , жизнь несколько проще. Общая площадь поверхности A тогда определяется как:

A = B + ¹ / ₂ pl

где B — площадь основания, p — длина периметра основания, а l — наклонная высота пирамиды (см. иллюстрацию ниже).Обратите внимание, что наклонную высоту l правильной пирамиды можно рассчитать по следующей формуле:

л = √ ( ч ² + r ² )

где h — высота пирамиды, а r — длина радиуса основания пирамиды (т.е. длина радиуса вписанной окружности основания, которая также является расстоянием между геометрический центр основания и центр одной из его сторон).Найти площадь основания относительно несложно, так как основание представляет собой правильный многоугольник. Если вам нужно освежить память по этой теме, см. Страницу «Правильные многоугольники» в этом разделе. Площадь поверхности пирамиды часто упоминается как состоящая из двух отдельных компонентов. Первый — это базовая область , (то есть площадь базового многоугольника). Вторая — это боковая область , (то есть объединенная площадь поверхности треугольных граней).

Периметр основания p , высота h , высота наклона l и inradius r правильной пирамиды

Что такое призмы и пирамиды?

В математике призма — это многогранник, состоящий из параллельных верхнего и нижнего оснований и прямоугольных боковых граней.Пирамиды имеют одно основание и треугольные боковые грани, которые пересекаются в центральной вершине. Игра в кости или куб — это пример призмы. Традиционная палатка с плоскими гранями, которые пересекаются в одной вершине и одном основании, является примером треугольной пирамиды.

Призмы

Существуют призмы различных форм, включая квадратные, кубические или прямоугольные, треугольные и пятиугольные. Обычные призмы — это призмы, поперечное сечение которых имеет одинаковую длину и угол. Поперечное сечение — это форма, которая остается при прямом разрезе объекта.Пятиугольные призмы имеют неправильное поперечное сечение, потому что углы и длины сторон меняются. У призм нет изогнутых сторон.

Умножьте площадь параллельных оснований призмы на ее длину, чтобы рассчитать ее общий объем.

Рисование призмы

Расширьте любую двумерную форму, чтобы создать трехмерную призму. Чтобы создать треугольную призму, нарисуйте основу равностороннего треугольника на листе бумаги. Дублируйте треугольник на несколько дюймов по диагонали от исходной формы.С помощью линейки соедините точки одного треугольника с соответствующими точками другого треугольника. Выделите основу штриховкой или раскраской маркером.

Чтобы сделать квадратную призму, нарисуйте два равносторонних квадрата по диагонали друг от друга. Соедините их соответствующие точки прямыми линиями.

Пирамиды

Пирамида образуется путем соединения основания с самой высокой точкой формы, называемой вершиной. Есть несколько типов пирамид, которые получили название своей базовой формы.Например, основание треугольника образует треугольную пирамиду, квадратное основание образует квадратную пирамиду, а основание пятиугольника образует пятиугольную пирамиду.

Пирамида называется правой пирамидой, если вершина образуется непосредственно над центром основания. Если вершина появляется в другом месте, это считается наклонной пирамидой. У правильных пирамид есть правильные основания, у которых все стороны равны по длине. Неправильные пирамиды имеют основания с разной длиной сторон.

Чтобы найти объем пирамиды, умножьте высоту на площадь основания на 1/3.

Рисование пирамиды

Чтобы создать простую правую пирамиду, нарисуйте наклонный параллелограмм на листе бумаги. Он будет использоваться в качестве основы вашей пирамиды. Нарисуйте небольшую точку над центром основания как вершину вашей пирамиды. С помощью линейки нарисуйте прямые диагональные линии от каждого угла основной формы, чтобы они пересекались на вершине пирамиды. Подчеркните основу, раскрасив или растушевывая ее маркером.

Свойства треугольной пирамиды

Все пирамиды имеют основание с тремя или более сторонами, заостренную вершину (или вершину) и стороны, которые поднимаются от основания, образуя вершину.Существует много различных типов пирамид, и математики классифицируют их по форме основания. Например, пирамида с квадратным основанием — это пирамида с квадратным основанием, а пирамида с треугольным основанием — это пирамида с треугольным основанием. Все типы пирамид объединяет то, что их стороны треугольные.

Грани

Треугольные пирамиды состоят исключительно из треугольников. Три треугольные стороны наклонены вверх от треугольного основания. Поскольку она образована из четырех треугольников, пирамида с треугольным основанием также известна как тетраэдр.Если все грани представляют собой равносторонние треугольники или треугольники, все стороны которых имеют одинаковую длину, пирамида называется правильным тетраэдром. Если у треугольников есть ребра разной длины, пирамида представляет собой неправильный тетраэдр.

Ребра

Пирамиды с треугольным основанием имеют шесть ребер: три вдоль основания и три, идущие вверх от основания. Если шесть ребер равной длины, все треугольники равносторонние, а пирамида — правильный тетраэдр.

Вершины

В геометрии вершины по сути являются углами.Все пирамиды с треугольным основанием, правильные они или неправильные, имеют четыре вершины.

Площадь поверхности

Чтобы определить площадь поверхности треугольной пирамиды, сложите площадь основания плюс площадь всех сторон. Для правильных тетраэдров это вычисление несложно. Найдите длину основания и высоту одного из треугольников. Умножьте эти измерения и разделите полученное число на два. Это площадь одного из треугольников. Затем умножьте эту площадь на четыре, чтобы учесть все треугольные грани пирамиды.Для неправильных тетраэдров найдите площадь каждого треугольника по отдельности, используя формулу, умноженную на 1/2 основания, умноженного на высоту. Затем сложите все области вместе.

Объем

Чтобы определить объем любой пирамиды с треугольным основанием, умножьте площадь треугольного основания на высоту пирамиды (измеренную от основания до вершины). Затем разделите это число на три.

Сколько сторон у пирамиды? — Mvorganizing.org

Сколько сторон у пирамиды?

восемь

Сколько сторон у правой пирамиды?

Это твердое тело конической формы с многоугольным основанием.Пирамида с n-сторонним основанием имеет n + 1 вершину, n + 1 грань и 2n ребра. Все пирамиды самодвойственны. У правой пирамиды вершина находится прямо над центром тяжести ее основания…. Пирамида (геометрия)

Правые пирамиды с правильным основанием
Недвижимость	выпуклый

Может ли пирамида иметь 3 стороны?

«Трехгранная пирамида» называется тетраэдром.

Сколько плоских сторон у пирамиды?

У него шесть вершин и девять ребер.У прямоугольной пирамиды 5 граней. Его основание — прямоугольник или квадрат, а остальные 4 грани — треугольники.

Почему пирамида треугольная?

Основание пирамиды может быть треугольником, квадратом, прямоугольником или другой формой с еще большим числом сторон. Каждая сторона пирамиды (каждое основание и вершина) образует треугольник. Форма пирамиды позволяет равномерно распределять вес по всей конструкции.

Есть ли у пирамиды 4 грани?

Пирамида с треугольным основанием также известна как тетраэдр.Все стороны равносторонние треугольники. Пирамида с треугольным основанием имеет 4 грани, 4 вершины, включая вершину, и 6 ребер.

Что такое форма пирамиды?

Пирамида — это многогранник, основание которого — многоугольник, а все боковые грани — треугольники. Пирамида обычно описывается формой ее основания. Например, треугольная пирамида имеет основание в виде треугольника, а шестиугольная пирамида имеет основание в виде шестиугольника.

Какая трехмерная фигура имеет 6 вершин и 9 ребер?

призма треугольная

Сколько самолетов в пирамиде?

Равносторонняя треугольная призма имеет четыре плоскости симметрии.Пирамида с прямоугольным основанием имеет 2 плоскости симметрии. Пирамида с квадратным основанием имеет 4 плоскости симметрии.

Какие плоскости на пирамиде?

Его толщина составляет всего лишь острие, которое вообще не занимает места. Таким образом, самолет похож на воображаемый лист бумаги, бесконечно широкий и длинный, но без толщины. Когда мы говорим о треугольнике или квадрате, эти формы похожи на кусочки, вырезанные из плоскости, как если бы вы вырезали их из листа бумаги.

Какова формула треугольной пирамиды?

Формула, используемая для вычисления объема треугольной пирамиды, имеет вид 1/3 × Площадь основания × Высота.Здесь площадь основания может быть найдена с использованием любой формулы площади треугольника в зависимости от типа треугольного основания и известных параметров.

Как выглядит прямоугольная пирамида?

Прямоугольная пирамида — это трехмерный объект с прямоугольником в качестве основания и треугольной гранью, соответствующей каждой стороне основания. Треугольные грани, которые не являются прямоугольным основанием, называются боковыми гранями и встречаются в точке, называемой вершиной или вершиной.

Как называется треугольная пирамида?

Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду с равносторонними равносторонними треугольниками на каждой грани.

Может ли треугольная пирамида составлять мозаику?

Удлиненная треугольная пирамида может образовывать мозаику пространства с квадратными пирамидами и / или октаэдрами.

Каков объем квадратной пирамиды?

Квадратная пирамида Формулы, полученные для длины стороны a и высоты h: Объем квадратной пирамиды: V = (1/3) a2h.

Что такое периметр и площадь?

О расшифровке стенограммы. Периметр — это расстояние по внешней стороне фигуры. Площадь измеряет пространство внутри фигуры.

Какова формула периметра?

Формула для периметра прямоугольника часто записывается как P = 2l + 2w, где l — длина прямоугольника, а w — ширина прямоугольника. Площадь двумерной фигуры описывает площадь поверхности, которую покрывает фигура.

Что такое формула площади?

L — длина, W — ширина, H — высота. A — площадь основания, h — высота. A — площадь основания, h — высота. r — радиус….Периметр, площадь и объем.

Таблица 2. Формула площади
Форма	Формула	Переменные
Квадрат	А = s2	с — длина стороны квадрата.

Почему квадрат площади?

Почему площадь квадрата равна боковому квадрату? Квадрат — это двухмерная фигура, у которой все стороны равны. Поскольку все стороны равны, площадь будет равна длине, умноженной на ширину, что равно стороне × стороне.Следовательно, площадь квадрата равна боковому квадрату.

Каков периметр всех форм?

Формулы периметра

Геометрическая форма	Формула периметра	Метрики
Треугольник	а + б + с	a, b и c — длины сторон
Прямоугольник	2 (длина + ширина)
Квадрат	4a	a = Длина стороны
Трапеция	а + б + в + г	a, b, c, d — стороны трапеции

Каков периметр формы B?

Ответ: Периметр двумерной фигуры — это расстояние вокруг фигуры.Его можно найти путем сложения всех сторон (если они все одинаковые). Площадь двумерной фигуры определяется путем подсчета количества квадратов, покрывающих фигуру.

Каков периметр диаграммы?

Периметр — это длина контура фигуры. Чтобы найти периметр прямоугольника или квадрата, вам нужно сложить длины всех четырех сторон. x — это длина прямоугольника, а y — ширина прямоугольника.

Что такое пример периметра?

Периметр — это расстояние вокруг объекта.Например, у вашего дома есть огороженный двор. Периметр — это длина забора. Если размер двора составляет 50 футов на 50 футов, длина вашего забора составляет 200 футов.

Как вы учите площадь и периметр?

19 творческих способов обучения площади и периметра

1. Создайте диаграмму привязки площади и периметра. Начните с якорной диаграммы!
2. Украсьте свой класс.
3. Закуска, пока учишься.
4. Вытащите блоки шаблона.
5. Нарисуйте человека по периметру.
6. Сделайте математическую мозаику.
7. Исследуйте территорию и периметр с помощью кубиков LEGO.
8. Напишите имена печатными буквами.

Как в повседневной жизни используются площадь и периметр?

В повседневной жизни площадь и периметр используются постоянно — например, для описания размера дома, говоря о его площади пола, или для определения количества проволоки, необходимой для ограждения поля.

Где мы используем площадь в реальной жизни?

Какие жизненные ситуации требуют от нас использования площади? ▫ Напольные покрытия, такие как ковры и плитка, требуют измерения площади.Обои и краска также требуют измерения площади. Ткань, используемая для изготовления одежды и других предметов, также требует учета длины и ширины.

3 типа экологических пирамид

Следующие пункты выделяют три типа экологических пирамид. Типы: 1. Пирамида чисел 2. Пирамида биомассы 3. Пирамида энергии.

Экологическая пирамида: Тип № 1. Пирамида чисел:

Пищевые сети дают полезные изображения кормовых отношений организмов в сообществе, но они не являются количественными.Элтон (1927) был первым человеком, который попытался дать количественный закон, касающийся трофических уровней.

Элтон указал, что в небольшом пруду количество простейших может исчисляться миллионами, дафний и циклопов — сотнями тысяч, в то время как личинок жуков будет меньше, а мелких рыбок будет очень мало.

Говоря более определенно, количество животных в основании пищевой цепи относительно велико, в то время как животных в конце относительно мало, и наблюдается постепенное уменьшение между двумя крайностями (рис.4.13A).

Характеристики пирамиды чисел:

Пирамида чисел является результатом трех явлений, которые обычно действуют одновременно:

1. Требуется очень много маленьких единиц, чтобы равняться массе одной большой единицы. Таким образом, даже если бы вес более крупных и мелких организмов был равен, количество более мелких организмов было бы значительно больше, чем количество более крупных.

2. В пищевой цепи более мелких организмов много, а более крупных организмов мало.Это потому, что более мелкие организмы могут увеличиваться в количестве с очень высокой скоростью из-за своего небольшого размера. Более того, полезная энергия всегда теряется при передаче на каждом этапе пищевой цепи, поэтому гораздо меньше энергии доступно для более высоких трофических уровней.

3. В пирамиде чисел есть модель скорости метаболизма обратной величины. Чем меньше организм, тем выше метаболизм на грамм (или калорию) биомассы.

Недостаток:

1.Пирамида чисел не очень фундаментальна или поучительна, поскольку не указаны относительные эффекты факторов «геометрической», «пищевой цепи» и «размера».

2. Пирамида чисел чрезмерно подчеркивает важность мелких организмов.

Перевернутая пирамида:

Видно, что в случае паразитической пищевой цепи пирамида чисел перевернута (рис. 4.14). В лесной экосистеме производителями являются в основном крупные деревья. Одно дерево может быть основанием пирамиды.Травоядных животных, в основном птиц, питающихся фруктами, больше, и каждое травоядное, в свою очередь, может обеспечить питанием несколько паразитов.

Эти паразиты могут поддерживать многих гиперпаразитов. Таким образом, организмы от производителей к потребителям постепенно увеличиваются в численности, делая пирамиду перевернутой.

Экологическая пирамида: Тип № 2. Пирамида биомассы:

Пирамида биомассы (рис.4.13Б) представляет более фундаментальный интерес. Здесь устранен «геометрический» фактор и наглядно показаны количественные соотношения «насаждений». При нанесении на график общего веса особей на последовательных трофических уровнях можно ожидать постепенного наклона пирамиды биомассы при условии, что размеры организмов не сильно отличаются.

Пирамида биомассы может быть перевернута (рис. 4.15), если организмы более низких уровней в среднем намного меньше, чем организмы более высоких уровней.На рис. 4.15 размер производителя (фитопланктона) в зарыбном пруду в Кальяни, Западная Бенгалия, очень мал по сравнению с потребителем (толстолобик). Точно так же гораздо меньший зоопланктон поддерживает гораздо более крупного потребителя, Катлу.

В таких случаях, даже если через нижний трофический уровень проходит больше энергии, чем через верхний трофический уровень, быстрый метаболизм и круговорот более мелких организмов (фитопланктон и зоопланктон) обеспечивают больший выход при меньшей биомассе древостоя.

Недостаток:

Пирамида биомассы преувеличивает важность крупных организмов.

Экологическая пирамида: Тип № 3. Пирамида энергии:

Пирамида энергии — это скорость прохождения пищевой массы по пищевой цепи. Его форма не зависит от размеров или скорости метаболизма людей. Если рассматривать все источники энергии, то пирамида энергии (рис. 4.16) всегда будет пирамидальной из-за второго закона термодинамики.

Основная характеристика энергетической пирамиды:

1. Энергетическая пирамида представляет собой более подходящий показатель для сравнения любых без исключения компонентов любой экосистемы.

2. Он оценивает относительную важность популяций.

Объем пирамиды — объяснение и примеры

Пирамида представляет собой трехмерную диаграмму , многоугольное основание которой соединено с вершиной треугольными гранями в геометрии. Треугольные грани пирамиды известны как боковые грани, а расстояние по перпендикуляру от вершины (вершины) до основания пирамиды известно как высота.

Пирамиды названы в честь формы их оснований. Например, прямоугольная пирамида имеет прямоугольное основание, треугольная пирамида имеет треугольное основание, пятиугольная пирамида имеет пятиугольное основание и т. Д.

Как найти объем пирамиды?

В этой статье мы обсудим , как найти объем пирамид с разными типами оснований и решить задачи со словами, связанные с объемом пирамиды.

Объем пирамиды определяется как количество кубических единиц, занимаемых пирамидой.Как указывалось ранее, название пирамиды происходит от формы ее основания. Поэтому объем пирамиды зависит еще и от формы основания.

Чтобы определить объем пирамиды, вам нужны только размеры основания и высота.

Объем формулы пирамиды

Общий объем формулы пирамиды определяется как:

Объем пирамиды = 1/3 x площадь основания x высота.

V = 1/3 A _b h

Где A _b = площадь многоугольного основания, а h = высота пирамиды.

Примечание: Объем пирамиды незначительно варьируется в зависимости от многоугольного основания.

Пример 1

Рассчитайте объем прямоугольной пирамиды с основанием 8 см на 6 см и высотой 10 см.

Решение

Для прямоугольной пирамиды основанием является прямоугольник.

Площадь прямоугольника = l x w

= 8 x 6

= 48 см ² .

А по объему формулы пирамиды имеем

Объем пирамиды = 1 / 3A _b h

= 1/3 x 48 см ² x 10 см

= 160 см ³ .

Пример 2

Объем пирамиды 80 мм ³ . Если основание пирамиды представляет собой прямоугольник длиной 8 мм и шириной 6 мм, найдите высоту пирамиды.

Раствор

Объем пирамиды = 1 / 3A _b h

⇒ 80 = 1/3 x (8 x 6) xh

⇒ 80 = 15.9h

Разделив обе стороны на 15,9, получаем,

h = 5

Таким образом, высота пирамиды 5 мм.

Объем квадратной пирамиды

Чтобы получить формулу объема квадратной пирамиды, заменим площадь основания (A _b ) на площадь квадрата (Площадь квадрата = a ² )

Следовательно, объем квадратной пирамиды определяется как:

Объем квадратной пирамиды = 1/3 xa ² xh

V = 1/3 a ² h

Где a = длина стороны основания (квадрат) и h = высота пирамиды.

Пример 3

Квадратная пирамида имеет длину основания 13 см и высоту 20 см. Найдите объем пирамиды.

Решение

Дано:

Длина основания, a = 13 см

высота = 20 см

Объем квадратной пирамиды = 1/3 a ² h

При подстановке имеем,

Объем = 1/3 x 13 x 13 x 20

= 1126,7 см ³

Пример 4

Объем квадратной пирамиды составляет 625 кубических футов.Если высота пирамиды 10 футов, каковы размеры основания пирамиды?

Решение

Дано:

Объем = 625 кубических футов.

высота = 10 футов

По объему квадратной формулы

⇒ 625 = 1/3 a ² h

⇒ 625 = 1/3 xa ² x 10

⇒ 625 = 3,3a ²

⇒ a ² = 187,5

⇒ a = = √187,5

a = 13,7 футов

Итак, размеры основания будут 13.7 футов на 13,7 футов.

Пример 5

Базовая длина квадратной пирамиды в два раза больше высоты пирамиды. Найдите размеры пирамиды, если она имеет объем 48 кубических ярдов.

Решение

Пусть высота пирамиды = x

длина = 3x

объем = 48 кубических ярдов

Но объем квадратной пирамиды = 1/3 a ² h

Заменить .

⇒ 48 = 1/3 (3x) ² (x)

⇒ 48 = 1/3 (9x ³ )

⇒ 48 = 3x ³

Разделите обе части на 3, чтобы получить,

⇒ x ³ = 16

⇒ x = ³ √16

x = 2.52

Следовательно, высота пирамиды = x ⇒ 2,53 ярда,

и каждая сторона основания равна 7,56 ярда

Объем трапециевидной пирамиды

Трапециевидная пирамида — это пирамида, основание которой представляет собой трапецию или трапецию. .

Поскольку мы знаем, площадь трапеции = h ₁ (b ₁ + b ₂ ) / 2

Где h = высота трапеции

b ₁ и b ₂ являются длины двух параллельных сторон трапеции.

Учитывая общую формулу объема пирамиды, мы можем вывести формулу объема трапециевидной пирамиды как:

Объем трапециевидной пирамиды = 1/6 [h ₁ (b ₁ + b ₂ )] H

Примечание: При использовании этой формулы всегда помните, что h — это высота трапециевидного основания, а H — высота пирамиды.

Пример 6

Основание пирамиды представляет собой трапецию с параллельными сторонами длиной 5 м и 8 м и высотой 6 м.Если пирамида имеет высоту 15 м, найдите объем пирамиды.

Решение

Дано;

h = 6 м, H = 15 м, b ₁ = 5 м и b ₂ = 8 м

Объем трапециевидной пирамиды = 1/6 [h ₁ (b ₁ + b ₂ )] h

= 1/6 x 6 x 15 (5 + 8)

= 15 x 13

= 195 м ³ .

Объем треугольной пирамиды

Как известно, площадь треугольника;

Площадь треугольника = 1/2 b h

Объем треугольной пирамиды = 1/3 (1/2 b h) H

Где b и h — длина основания и высота треугольника.H — высота пирамиды.

Пример 7

Найдите площадь треугольной пирамиды, площадь основания которой составляет 144 дюйма ² , а высота 18 дюймов

Решение

Дано:

Базовая площадь = 144 дюйма ²

H = 18 дюймов

Объем треугольной пирамиды = 1/3 (1/2 bh) H

= 1/3 x 144 x 18

= 864 дюйма ³

Практика Задачи

1. Каков объем пирамиды высотой 12 единиц с прямоугольным основанием размером 8 единиц на 9 единиц?
2. Рассмотрим пирамиду с основанием равнобедренного треугольника с двумя сторонами длиной 14 единиц каждая и 16 единиц.Найдите объем пирамиды, если ее высота 22 единицы.
3. Рассмотрим пирамиду с квадратным основанием по 11 см каждая. Если объем этой пирамиды 520 см ³ , какова высота этой пирамиды?

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок .

No related posts.